Menemukan Rumus Limas

LIMAS

Limas merupakan salah satu bangun ruang yang perlu kita ketahui untuk lebih memantapkan konsep tentang bangun ruang. Limas ialah suatu benda ruang yang dibatasi oleh sebuah segibanyak dan segitiga-segitiga yang mempunyai titik puncak persekutuan di luar segibanyak tersebut, sedangkan sisi-sisi segi banyak itu merupakan alas-alas segitiga-segitiga itu (definisi).

Suatu limas dinamakan limas segitiga, segiempat, segilima, dan sebagainya, jika segibanyak itu berupa segitiga, segiempat, segilima, dan sebagainya. Untuk lebih jelasnya kita perhatikan gambar berikut yang menunjukkan limas segiempat TABCD.

           

                                                                                                                  

Keterangan :

1.      Segiempat ABCD dinamakan bidang alas.

2.      Segitiga-segitiga TAB, TBC, TCB, dan TAD dinamakan bidangbidang sisi tegak.

3.      Titik T dinamakan titik puncak.

4.      Ruas garis-ruas garis TA, TB, TC, dan TD dinamakan rusuk-rusuk tegak.

5.      Rusuk-rusuk AB, BC, CD, dan DA dinamakan rusuk-rusuk bidang alas.

6.      Jarak dari titik puncak pada bidang alas dinamakan tinggi limas (TT₁).

7.      Garis tinggi pada tiap-tiap bidang sisi tegak dinamakan apotema (TT₂ salah satu apotemanya).

8.      Bidang-bidang TBD dan TAC dinamakan bidang-bidang diagonal.

Pada gambar diatas, alas limas TABCD yaitu segiempat ABCD merupakan segiembat sebarang.  Jika alas suatu limas berbentuk segi n yang beraturan, maka dikenal dengan sebutan limas teratur. Limas teratur adalah limas yang bidang alasnya merupakan segi n beraturan dan proyeksi titik puncak pada bidang alasnya berimpit dengan pusat bidang alas (definisi). Sekarang kita perhatikan gambar berikut dan beberapa keterangannya, sehingga kita dapat membedakan antara limas teratur dan limas tidak teratur.

Keterangan :

1.      Rusuk-rusuk alasnya sama panjang AB = BC = CD = AD

2.      Rusuk-rusuk tegaknya sam panjang TA = TB = TC = TD

3.      Semua bidang sisi tegaknya kongruen ∆ TAB ≡ ∆ TBC ≡ ∆ TCD ≡ ∆ TAD

Limas TABCD adalah limas segiempat teratur. Bidang alas ABCD berbentuk bujursangkar (persegi). Titik T₁ merupakan proyeksi titik puncak T pada bidang alas ABCD, dan titik T₁ merupakan pusat bujursangkar ABCD.

BIDANG EMPAT

            Limas segitiga dinamakan juga bidang empat, karena dibatasi oleh empat buah bidang. Bidang empat adalah limas yang alasnya berupa segitiga (definisi).

Pada gambar diatas limas ABCD merupakan bidang empat dan mudah dilihat bahwa banyaknya bidang batas adalah empat, sesuai dengan namanya. Adapun bidang-bidang batasnya adalah bidang-bidang ABC, ABD, BCD, dan ACD. Berbeda dengan limas segi-n (n lebih besar dari tiga), pada bidang empat setiap titik sudutnya dapat dianggap sebagai titik puncak.

            Pada bidang empat ABCD, unsure-unsurnya dan kemungkinan-kemungkinan pemberian namanya adalah sebai berikut:

Titik puncak	Bidang alas	Tinggi	Nama
A	CBD	Jarak titik A terhadap  CBD	A.BCD
B	ACD	Jaraj titik B terhadap ACD	B.ACD
C	ABD	Jarak titik C terhadap ABD	C.ABD
D	ABC	Jarak titik D terhadap ABC	D.ABC

            Ada beberapa ketentuan (definisi) yang perlu kita ketahui tentang bidang empat, yaitu :

1.      Bidang empat teratur adalah bidang empat yang keempat bidang batasnya kongruen.

2.      Bidang empat tegak adalah bidang empat yang salah satu rusuknya tegak lurus pada bidang alas.

3.      Bidang empat siku-siku adalah bidang empat yang mempunyai tiga rusuk bertemu pada satu titik sudut saling tegak lurus.

4.      Bidang empat sebarang adalah bidang empat yang tidak termasuk salah satu bidang empat di atas.

Macam-macam bidang empat dan keistimewaannya masing-masing dapat dilihat pada gambar dibawah ini :

Pada bidang empat teratur, kongruenan bidang-bidang batasnya mengakibatkan semua rusuknya sama panjang sehingga masing-masing bidang tegak berupa segitiga sama sisi.

JARING-JARING LIMAS

            sekarang kita perhatiakan kembali ruang yang bernam limas. Pada gambar berikut tampak limas T. ABCD yang terbuat dari karton. Kemudian bidang sisi tegak direbahkan kea rah luar (poros rotasi terletak pada bidang tegak) limas tersebut diiris menurut TA, TB, TC, dan TD. Selanjutnya masing-masing seperti ditunjukkan oleh gambar (b). akhirnya semua bidang tegak terletak pada bidang pemuat alas. Bangun geometri yang kita peroleh merupakan jarring-jaring limas (gambar(c))

           

Dalam proses pembelajaran pembuatan model jaring-jaring limas seperti di atas, ada beberapa hal yang perlu kita perhatikan untuk dipahami, yaitu :

1.      Jika limas dari karton diiris menurut beberapa rusuknya, dan direbahkan pada bidang rata, maka :

a.       Semua bidang batas membentuk suatu bangun geometri.

b.      Tidak ada bagian dari bidang sisi yang saling menutup.

c.       Rangkaian bangun rebahan itu dinamakan jarring-jaring limas.

2.      Cara mengiris limas dari karton tersebut tidak harus menurut rusuk tegak, tetapi dapat juga mengirisnya menurut sebagian rusuk alas.

Untuk lebih jelasnya lagi, kita perhatikan proses pembuatan berbagai bentuk jarring-jaring limas sebagaimana telah dibicarakan di atas bahwa cara mengiris rusuk-rusuk limas dari karton tidak selalu menurut rusuk tegak saja. Kombinasi atau variasi pemilihan rusuk yang diiris akan menghasilkan berbagai bentuk jarring-jaring.

            Berikut ini adalah proses pembentukan macam-macam jarring-jaring limas, khususnya untuk limas segitiga beraturan dan limas segiempat beraturan. Untuk lebih memahaminya kita perhatikan gambar berikur, jika limas segitiga beraturan diiris menurut rusuk-rusuk tegaknya, kemudian bidang sisi tegak direbahkan pada bidang alas, maka akan diperoleh bangun jarring-jaring limas segitiga beraturan (gambar di atas).

            Alternatif-alternatif lain dari cara mengirisnya dapat dilakukan melalui satu rusuk tegak dan dua rusuk alas sehingga kita dapatkan jaring-jaring seperti (gambar di bawah).

LUAS PERMUKAAN LIMAS

Pada gambar berikut tampak limas segitiga beraturan yang sisi alasnya berupa segitiga sama sisi dan ketiga sisi tegaknya berupa segitiga sama kaki yang kongruen (gambar a).  sedangkan pada (gambar b) tampak limas segi empat beraturan dengan keempat sisi tegaknya berupa segitiga sama kaki dan alasnya berupa persegi. (gambar c) adalah limas segilima yang tak beraturan denagn sisi-sisi tegaknya berupa segitiga, dan alasnya berupa segilima yang tidak beraturan. Sedangkan (gambar d) adalah limas segienam beraturan, keenam sisis tegaknya berupa segitiga sama kaki, dan alasnya berupa segienam beraturan.

Selanjutnya untuk menentukan luas daerah permukaan limas, tentunya harus kita jumlahkan luas daerah alasnya dengan luas daerah seluruh permukaan sisi-sisi tegaknya, sehingga luas permukaan limas tersebut merupakan luas daerah bidang-bidang sisi limas tersebut. Demikian pula kaitannya dengan jarring-jaring limas, maka luas permukaan limas sama saja degan luas daerah rangkaian bangun jarring-jaring limas tersebut. Untuk lebih jelasnya kita perhatikan contoh berikut ini.

Contoh:

            Diketahui limas segiempat beraturan dengan ukuran panjang rusuk-rusuk alasnya 10 cm. ukuran panjang apotemanya 12 cm ( apotema adalah tinggi segitiga sama kaki yang merupakan sisi tegak limas). Tentukan luas permukaan limas tersebut!

Penyelesaian :

            Kita perhatikan kembali limas segiempat beraturan T. ABCD seperti ditunjukkan pada gambar di bawah ini dengan AB = BC = CD = AD = 10 cm, dan TE = 12 cm.

            Luas daerah permukaan limas             = luas daerah bidang-bidang sisi limas

                                                                        = luas alas + 4 luas sisi tegaknya

                                                                        = ( 10 . 10 ) + 4. (1/2 . 10 . 12 )

                                                                        = 100 + 240

                                                                        = 340

            Jadi, luas permukaan limas tersebut adalah 340 cm².

VOLUME LIMAS

            Sekarang kita perhatikan gambar di bawah ini yang memperlihatkan sebuah kubus dengan ukuran panjang rusuknya a dalam kubus tesebut tampak ada enam limas yang mempunyai tinggi dan alas yang kongruen. Masing-masing limas beralaskan sisi kubus dan berpuncak pada titik potong diagonal-diagonal ruangnya.

                       

Dengan memperhatikan gambar di atas, kita akan mencoba membandingkan antara volume kubus dengan volume limas, yaitu sebagai berikut :

Volume kubus                                   = a x a x a

Volume masing-masing limas = 1/6 volume kubus

                                                   = 1/6 a x a x a = 1/6 a² x a

                                                   = 1/6 a² x 2t (sebab t = 1/2 a)

                                                   = 1/3 a²t = 1/3 luas alas x tinggi

Secara umum dapat kita simpulkan bahwa untuk setiap limas berlaku

Volume limas = V  = 1/3 luas alas x tinggi

Alternatif lain dari proses pembelajaran penemuan rumus volume limas dilakukan dengan metode laboratorium, yaitu sebagai berikut.

a.       Kita siapkan prisma dan limas yang luas alas dan tingginya sama.

b.      Isilah limas dengan air atau pasir hingga penuh, kemudian pindahkan ke dalam prisma, dan tentunya tidak akan penuh, bila ingin penuh kita harus mengulangi dua kali lagi, sehingga menjadi tiga kali.

c.       Hal ini berarti volume prisma tiga kali volume limas, atau volume limas  1/3 volume prisma. Sedangkan volume prisma adalah luas alas kali tinggi. Jadi, volume imas adalah 1/3 luas alas x tinggi.

d.      Ulangi beberapa limas dan prisma lain asalkan luas alas dan tingginya sama seperti gambar di bawah ini.